Le sommaire peut vous donner envie

Table des matieres
Avant-propos 5
Table des matieres 19
Table des figures 24
Liste des tableaux 25
1 Cin´ematique des milieux continus 27 1.1 D´efinition d’un milieu continu - Hypotheses de base . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.1 Notion de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.2 Hypothese de continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Rep´erage des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Configuration de r´ef´erence et configuration actuelle . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2 Relation entre les configurations actuelle et de r´ef´erence : la transformation du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.3 Transformation lin´eaire tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.4 Jacobien de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.5 Champ des d´eplacements et champ des vitesses . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3 Descriptions lagrangienne et eul´erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.1 Trajectoires, lignes de courant, lignes d’´emission . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.1.2 Cas d’un mouvement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.2 Point de vue lagrangien et point de vue eul´erien . . . . . . . . . . . . . 42 1.4 D´eriv´ee mat´erielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.2 Champ des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.3 D´eriv´ees mat´erielles du gradient et du jacobien de la transformation . . 46 1.4.4 D´eriv´ees d’int´egrales sur des domaines mat´eriels . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.4.1 D´eriv´ee d’une int´egrale de volume . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.4.4.2 D´eriv´ee d’une int´egrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.4.3 D´eriv´ee d’une int´egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5 ´Equations de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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10 P. Royis, 5 septembre 2013. TABLE DES MATIERES
1.5.1 Point de vue eul´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.5.2 Point de vue lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6 R´ecapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6.1 Rep´erage des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6.2 Descriptions lagrangienne et eul´erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.6.3 D´eriv´ee mat´erielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.6.4 ´Equations de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.7 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.7.1 ´Enonc´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 E1.1 Potentiel des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 E1.2 Th´eoreme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 E1.3 Th´eoreme de Lord Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 E1.4 ´Ecoulement sph´erique d’un fluide incompressible . . . . . . . . 59 E1.5 ´Ecoulement plan autour d’un pilier cylindrique . . . . . . . . . 60 E1.6 Traction-torsion d’une barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . 60 E1.7 Transformations infinit´esimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 E1.8 Tassement d’un sol incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.7.2 ´Enonc´es des problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 P1.1 ´Ecoulement plan de fluide incompressible : fonction de courant 62 P1.2 ´Etude d’un ´ecoulement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 P1.3 Roulement sans glissement d’un disque ind´eformable . . . . . . 63 P1.4 Un modele de houle : la houle trocho¨ıdale . . . . . . . . . . . . 64 1.7.3 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 E1.1 Potentiel des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 E1.2 Th´eoreme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 E1.3 Th´eoreme de Lord Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 E1.4 ´Ecoulement sph´erique d’un fluide incompressible . . . . . . . . 65 E1.5 ´Ecoulement plan autour d’un pilier cylindrique . . . . . . . . . 65 E1.6 Traction-torsion d’une barre cylindrique . . . . . . . . . . . . . 65 E1.7 Transformations infinit´esimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 E1.8 Tassement d’un sol incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . 66 P1.1 ´Ecoulement plan de fluide incompressible : fonction de courant 66 P1.2 ´Etude d’un ´ecoulement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 P1.3 Roulement sans glissement d’un disque ind´eformable . . . . . . 68 P1.4 Un modele de houle : la houle trocho¨ıdale . . . . . . . . . . . . 69
2 D´eformations 71 2.1 Consid´erations intuitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2 Tenseurs des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TABLE DES MATIERES P. Royis, 5 septembre 2013. 11
2.2.1 Tenseurs de Cauchy a droite et de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . 73 2.2.1.1 Tenseur de Cauchya droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.1.2 Tenseur de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.1.3 D´ecomposition en fonction du champ des d´eplacements . . . . 76 2.2.2 Tenseurs de Cauchy a gauche et d’Almansi-Euler . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.2.1 Tenseur de Cauchya gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.2.2 Tenseur d’Almansi-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2.2.3 D´ecomposition en fonction du champ des d´eplacements . . . . 79 2.2.3 D´ecomposition polaire de la transformation lin´eaire tangente . . . . . . 81 2.2.4 Variations de longueur d’un vecteur mat´eriel ´el´ementaire . . . . . . . . . 84 2.2.5 Variations d’angle entre les directions de deux vecteurs mat´eriels ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2.6 Variations de volume mat´eriel ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.7 Variations d’aire d’une surface mat´erielle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . 92 2.3 D´eriv´ees mat´erielles des tenseurs de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.3.1 Tenseurs des taux de d´eformation et de rotation . . . . . . . . . . . . . 95 2.3.2 D´eriv´ees mat´erielles des tenseurs de d´eformation . . . . . . . . . . . . . 97 2.3.2.1 Tenseurs lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.3.2.2 Tenseurs eul´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3.2.3 Tenseurs mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4 Cas des transformations infinit´esimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4.2 Tenseurs des petites d´eformations et des petites rotations . . . . . . . . 101 2.4.3 Variations de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.4.4 Variations d’angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.4.5 Variations de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.4.6 Variations d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.4.7 D´eviateur des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.4.8 Repr´esentations g´eom´etriques d’un ´etat de d´eformation plane . . . . . . 114 2.4.8.1 Cercle de Mohr des d´eformations planes . . . . . . . . . . . . . 115 2.4.8.2 Ellipse de Lam´e des d´eformations planes . . . . . . . . . . . . 118 2.4.9 ´Equations de compatibilit´e des petites d´eformations . . . . . . . . . . . 119 2.5 R´ecapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.5.1 Tenseurs des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.5.2 D´eriv´ees mat´erielles des tenseurs de d´eformation . . . . . . . . . . . . . 123 2.5.3 Cas des transformations infinit´esimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.6 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.6.1 ´Enonc´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 E2.1 Transformations lin´eaires planes . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12 P. Royis, 5 septembre 2013. TABLE DES MATIERES
E2.2 D´eformations en coordonn´ees cylindriques et sph´eriques . . . . 125 E2.3 D´eformation d’un tube ´epais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 E2.4 Quadriques directrices des dilatations . . . . . . . . . . . . . . 126 E2.5 Ellipse de Lam´e et cercle de Mohr des d´eformations planes . . 127 E2.6 Effet transversal dans une jauge d’extensom´etrie . . . . . . . . 127 E2.7 Extensom´etrie par jauges ´electriques . . . . . . . . . . . . . . . 128 E2.8 ´Ecoulement irrotationnel de fluide incompressible . . . . . . . . 129 E2.9 Petites ou grandes transformations? . . . . . . . . . . . . . . . 129 E2.10 Mouvement de corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.6.2 ´Enonc´es des problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 P2.1 Expansion plane homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 P2.2 Concentration plane homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 P2.3 Transformation tridimensionnelle homogene . . . . . . . . . . . 133 P2.4 Transformation finie d’un tube ´epais . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.6.3 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 E2.1 Transformations lin´eaires planes . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 E2.2 D´eformations en coordonn´ees cylindriques et sph´eriques . . . . 135 E2.3 D´eformation d’un tube ´epais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 E2.4 Quadriques directrices des dilatations . . . . . . . . . . . . . . 136 E2.5 Ellipse de Lam´e et cercle de Mohr des d´eformations planes . . 136 E2.6 Effet transversal dans une jauge d’extensom´etrie . . . . . . . . 136 E2.7 Extensom´etrie par jauges ´electriques . . . . . . . . . . . . . . . 136 E2.8 ´Ecoulement irrotationnel de fluide incompressible . . . . . . . . 137 E2.9 Petites ou grandes transformations? . . . . . . . . . . . . . . . 138 E2.10 Mouvement de corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 P2.1 Expansion plane homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 P2.2 Concentration plane homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 P2.3 Transformation tridimensionnelle homogene . . . . . . . . . . . 143 P2.4 Transformation finie d’un tube ´epais . . . . . . . . . . . . . . . 145
3 Contraintes 149 3.1 Consid´erations intuitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.1 Fluide au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.2 Poutre en traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.2 Efforts int´erieurs et tenseurs des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.2.1 Classification des actions m´ecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.2.1.1 Actions m´ecaniques ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.2.1.2 Actions m´ecaniques int´erieures : D´efinition du vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
TABLE DES MATIERES P. Royis, 5 septembre 2013. 13
3.2.2 Tenseurs des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.2.2.1 Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.2.2.2 Tenseurs des contraintes de Boussinesq et de Piola-Kirchhoff . 163 3.2.3 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.2.3.1 ´Equations ind´efinies eul´eriennes du mouvement . . . . . . . . . 167 3.2.3.2 ´Equations ind´efinies lagrangiennes du mouvement . . . . . . . 169 3.2.3.3 Sym´etrie des tenseurs des contraintes de Cauchy et de PiolaKirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.3 D´eriv´ees mat´erielles des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.3.1 D´eriv´ees mat´erielles des tenseurs des contraintes . . . . . . . . . . . . . 174 3.3.2 D´eriv´ee mat´erielle du vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.4 ´Etude du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.4.1 Th´eoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.4.2 Directions principales des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.4.3 D´eviateur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.4.4 Invariants scalaires du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.4.5 Repr´esentations g´eom´etriques d’un ´etat de contrainte plane . . . . . . . 185 3.4.5.1 Ellipse de Lam´e des contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . 186 3.4.5.2 Cercle de Mohr des contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . 187 3.4.6 Repr´esentations g´eom´etriques d’un ´etat de contrainte tridimensionnel . . 190 3.4.6.1 Ellipso¨ıde de Lam´e des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.4.6.2 Tricercle de Mohr des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.5 R´ecapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.5.1 Efforts int´erieurs et tenseurs des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.5.2 D´eriv´ees mat´erielles des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.5.3 ´Etude du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.6 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.6.1 ´Enonc´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 E3.1 Solide d’isocontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 E3.2 Essai de traction monoaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 E3.3 ´Etats types de contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 E3.4 Utilisation d’une plaque fissur´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 E3.5 ´Etat homogene de contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . . . 199 E3.6 Quadriques directrices des contraintes normales . . . . . . . . . 200 E3.7 Contrainte normale et contrainte tangentielle octa´edriques . . . 200 E3.8 Contraintes au parement amont d’un barrage . . . . . . . . . . 201 E3.9 Boˆıte de Casagrande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 3.6.2 ´Enonc´es des problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 P3.1 Contraintes dans une chaudiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14 P. Royis, 5 septembre 2013. TABLE DES MATIERES
P3.2 Contraintes dans un cˆable de pr´econtrainte . . . . . . . . . . . 203 P3.3 Contraintes dans une poutre en potence . . . . . . . . . . . . . 204 3.6.3 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 E3.1 Solide d’isocontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 E3.2 Essai de traction monoaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 E3.4 Utilisation d’une plaque fissur´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 E3.5 ´Etat homogene de contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . . . 206 E3.6 Quadriques directrices des contraintes normales . . . . . . . . . 206 E3.7 Contrainte normale et contrainte tangentielle octa´edriques . . . 207 E3.8 Contraintes au parement amont d’un barrage . . . . . . . . . . 207 E3.9 Boˆıte de Casagrande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 P3.1 Contraintes dans une chaudiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 P3.2 Contraintes dans un cˆable de pr´econtrainte . . . . . . . . . . . 207 P3.3 Contraintes dans une poutre en potence . . . . . . . . . . . . . 208
4 Prol´egomenesa la rh´eologie des corps continus 209 4.1 Consid´erations intuitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.1.1 Exemples de comportements de milieux solides . . . . . . . . . . . . . . 210 4.1.1.1 Comportement ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.1.1.2 Comportement ´elastoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.1.2 Exemples de comportements de milieux fluides . . . . . . . . . . . . . . 212 4.1.2.1 Fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.1.2.2 Fluide visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.2 ´Elasticit´e lin´eaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.2.1 Approche en d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.2.2 Approche en contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.2.3 Synthese des deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.2.4 Thermo´elasticit´e lin´eaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.2.5 Exemple de sollicitation thermom´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.3 Notion de critere de limite ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 4.3.1 Exemples de criteres ind´ependants de la contrainte moyenne . . . . . . . 229 4.3.1.1 Critere de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.3.1.2 Critere de Von-Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.3.2 Exemples de criteres d´ependants de la contrainte moyenne . . . . . . . . 233 4.3.2.1 Critere de Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.3.2.2 Critere de Dru¨cker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4.4 Fluide visqueux newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.1 Relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
TABLE DES MATIERES P. Royis, 5 septembre 2013. 15
4.5 Un exemple de couplage rh´eooptique : l’effet photo´elastique . . . . . . . . . . . 242 4.5.1 Mat´eriaux photo´elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 4.5.1.1 Polarisation rectiligne d’une onde lumineuse plane . . . . . . . 243 4.5.1.2 Mat´eriaux parfaitement photo´elastiques . . . . . . . . . . . . . 243 4.5.2 Photo´elasticim´etrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.5.2.1 Analyse rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.5.2.2 Analyse circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.6 R´ecapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.6.1 ´Elasticit´e lin´eaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.6.2 Notion de critere de limite ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.6.3 Fluide visqueux newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 4.7 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.7.1 ´Enonc´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 E4.1 Massif de sol pesant uniform´ement charg´e . . . . . . . . . . . . 253 E4.2 Coin ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 E4.3 Traction monoaxiale d’une poutre ´elastique h´et´erogene . . . . . 254 E4.4 Sollicitation thermom´ecanique d’une poutre ´elastique h´et´erogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 E4.5 ´Ecoulement laminaire d’un fluide visqueux newtonien incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 E4.6 Vernis craquelant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 E4.7 Criteres de Tresca et de Von-Mises en contraintes planes . . . . 257 E4.8 Rh´eometre de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 E4.9 Distorsion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 E4.10 Expansion plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.7.2 ´Enonc´es des problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 P4.1 Torsion et sollicitation thermique d’un cylindre creux . . . . . 260 P4.2 Torsion pure d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 P4.3 Mat´eriau composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 P4.4 Barrage poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 P4.5 Fluide de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4.7.3 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 E4.1 Massif de sol pesant uniform´ement charg´e . . . . . . . . . . . . 267 E4.2 Coin ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 E4.3 Traction monoaxiale d’une poutre ´elastique h´et´erogene . . . . . 267 E4.4 Sollicitation thermom´ecanique d’une poutre ´elastique h´et´erogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 E4.5 ´Ecoulement laminaire d’un fluide visqueux newtonien incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
16 P. Royis, 5 septembre 2013. TABLE DES MATIERES
E4.6 Vernis craquelant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 E4.7 Criteres de Tresca et de Von-Mises en contraintes planes . . . . 269 E4.8 Rh´eometre de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 E4.9 Distorsion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 E4.10 Expansion plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 P4.1 Torsion et sollicitation thermique d’un cylindre creux . . . . . 271 P4.2 Torsion pure d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 P4.3 Mat´eriau composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 P4.4 Barrage poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 P4.5 Fluide de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5 Principes g´en´eraux et leurs applications 277 5.1 Principes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.1.1 Rappels de r´esultats pr´ec´edemment ´enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.1.1.1 ´Equation eul´erienne de conservation de la masse . . . . . . . . 278 5.1.1.2 ´Equations ind´efinies eul´eriennes du mouvement . . . . . . . . . 278 5.1.2 Th´eoreme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.1.2.1 Forme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.1.2.2 Forme globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 5.1.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.1.3 Puissances virtuelles et ´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.1.3.1 Th´eoreme des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.1.3.2 Th´eoreme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.1.4 Th´eoreme des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.2 Application aux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.2.1 Hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.2.2 Fluide parfait en mouvement — Th´eoreme de Bernoulli . . . . . . . . . 292 5.2.3 Fluide visqueux newtonien - ´Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . 294 5.3 Application aux solides ´elastiques lin´eaires isotropes . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.3.1 ´Equations de Lam´e-Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.3.2 ´Energie de d´eformation d’un solide ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.3.3 Th´eoreme de l’´energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 5.3.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 5.4 R´ecapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 5.4.1 Principes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 5.4.2 Application aux fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 5.4.3 Application aux solides ´elastiques lin´eaires isotropes . . . . . . . . . . . 310 5.5 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 5.5.1 ´Enonc´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
TABLE DES MATIERES P. Royis, 5 septembre 2013. 17
E5.1 ´Equations ind´efinies du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 311 E5.2 Th´eoreme d’Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 E5.3 R´eservoir cylindrique en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 E5.4 Principe du venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 E5.5 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 E5.6 Ajutage de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 E5.7 Auget Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 E5.8 Tube de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 E5.9 Viscosimetre plan-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 E5.10 Torsion d’un disque annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 E5.11 Sphere creuse sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 E5.12 Vibrations longitudinales d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . 318 5.5.2 ´Enonc´es des problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 P5.1 Compression-confinement d’un cylindre creux . . . . . . . . . . 319 P5.2 Sertissage d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 P5.3 Cylindre creux infini sous pression (pressiometre) . . . . . . . . 322 P5.4 Stabilit´e d’une couche pesante reposant sur un plan inclin´e . . 323 P5.5 Pale d’h´elicoptere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 P5.6 Action d’un jet sur un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 P5.7 ´Ecoulement dans une conduite de section carr´ee . . . . . . . . 326 P5.8 Fluide visqueux sur un plan inclin´e . . . . . . . . . . . . . . . 327 P5.9 Fluide visqueux non-newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 P5.10 Viscosimetre cˆone-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 5.5.3 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 E5.2 Th´eoreme d’Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 E5.3 R´eservoir cylindrique en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 E5.4 Principe du venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 E5.5 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 E5.6 Ajutage de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 E5.7 Auget Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 E5.8 Tube de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 E5.9 Viscosimetre plan-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 E5.10 Torsion d’un disque annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 E5.11 Sphere creuse sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 E5.12 Vibrations longitudinales d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . 334 P5.1 Compression-confinement d’un cylindre creux . . . . . . . . . . 334 P5.2 Sertissage d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 P5.3 Cylindre creux infini sous pression (pressiometre) . . . . . . . . 338 P5.4 Stabilit´e d’une couche pesante reposant sur un plan inclin´e . . 338
18 P. Royis, 5 septembre 2013. TABLE DES MATIERES
P5.5 Pale d’h´elicoptere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 P5.6 Action d’un jet sur un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 P5.7 ´Ecoulement dans une conduite de section carr´ee . . . . . . . . 341 P5.8 Fluide visqueux sur un plan inclin´e . . . . . . . . . . . . . . . 342 P5.9 Fluide visqueux non-newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 P5.10 Viscosimetre cˆone-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6 Introductiona la m´ethode des ´el´ements finis 345 6.1 ´Etude d’un probleme modele : La corde sur fondation ´elastique . . . . . . . . . 346 6.1.1 Le probleme initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 6.1.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.1.2.1 Un th´eoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.1.2.2 Une d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 6.1.3 M´ethodes de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 6.1.3.1 ´Ecriture abstraite d’un probleme variationnel . . . . . . . . . . 351 6.1.3.2 Formulation variationnelle approch´ee de Galerkin . . . . . . . . 352 6.1.3.3 R´esolution num´erique d’un probleme approch´e de Galerkin . . 353 6.1.3.4 Les m´ethodes de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 6.1.4 Construction d’un espace d’´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 6.1.4.1 Premier outil : d´efinition d’un ´el´ement fini . . . . . . . . . . . 355 6.1.4.2 Deuxieme outil : triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 6.1.4.3 Troisieme outil : matrice de connectivit´e . . . . . . . . . . . . . 356 6.1.4.4 Construction finale des fonctions ψi, i ∈{1,...,Mh} . . . . . . 357 6.1.4.5 R´esolution num´erique d’un probleme de Galerkin par la m´ethode des ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 6.2 ´Etude du probleme de l’´elastostatique infinit´esimale . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.2.1 Le probleme initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.2.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 6.2.3 Exemple num´erique : ´equilibre d’un barrage poids ´elastique . . . . . . . 366 6.2.3.1 Choix d’un ´el´ement fini bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . 367 6.2.3.2 Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 6.2.3.3 Matrice de connectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.2.3.4 Expressions locales des d´eplacements, des d´eformations et des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 6.2.3.5 R´esolution num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 6.3.1 ´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 E6.1 Essai de compression œdom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . 380 E6.2 Pale d’h´elicoptere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
TABLE DES MATIERES P. Royis, 5 septembre 2013. 19
E6.3 Poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 6.3.2 Indications et ´el´ements de r´eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 E6.1 Essai de compression œdom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . 381 E6.2 Pale d’h´elicoptere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 E6.3 Poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
A ´El´ements de calcul tensoriel en bases orthonorm´ees 385 A.1 Convention d’indice muet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 A.2 Tenseurs euclidiens en bases orthonorm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 A.3 Tenseurs isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 A.4 Tenseurs gradient et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 A.5 Cas de l’espace IR3 orthonorm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
B Formulaire 393 B.1 Tenseurs de Kronecker δ et d’orientation  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 B.1.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 B.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 B.2 Op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 B.2.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 B.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 B.3 Coordonn´ees cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . 397 B.3.1 Coordonn´ees cart´esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 B.3.2 Coordonn´ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 B.3.3 Coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 B.4 Unit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 B.4.1 Unit´es de base et unit´es suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 B.4.2 Unit´es espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 B.4.3 Unit´es de m´ecanique et unit´es d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 B.4.4 Symboles des pr´efixes d´ecimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 B.5 Extensom´etrie par rosettes de trois jauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
C Ouvrages de r´ef´erence 409 C.1 Ouvrages de M´ecanique des Milieux Continus et d’´Elasticit´e . . . . . . . . . . . 409 C.2 Ouvrages de Math´ematiques : Calcul Tensoriel et Calcul Variationnel . . . . . . 410 C.3 Ouvrages sur la M´ethode des ´El´ements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 C.4 Ouvrages sur les M´ethodes Exp´erimentales en ´Elasticit´e . . . . . . . . . . . . . . 411
Index 413